Rata-rata

Rata-rata adalah suatu bilangan yang mewakili sekumpulan data.

Dalam statistika, rata-rata, rerata, atau rataan (bahasa Inggris: mean, average) memiliki tiga arti yang berkaitan:

• , pengertian yang paling umum dikenal awam.
• Nilai harapan dari suatu .
• Ukuran pemusatan dari suatu sebaran probabilitas.

Rerata merupakan salah satu konsep sentral dalam statistika matematis. Selain itu, menjadi bagian penting dalam berbagai penurunan berbagai metode statistika.

Dipandang dari sisi matematis, rerata adalah pertama dari suatu peubah acak.

Momen pertama mengenai rerata dari suatu peubah acak disebut simpangan (deviasi). Itu bukan tidak rata rata.

Rataan aritmetik

Pengertian sebagai rataan aritmetik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi bernilai nyata X,

• untuk data tunggal

${\displaystyle X={\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}{n}}}$

atau "jumlah data dibagi banyak data".

keterangan:

• X: rata-rata aritmetik
• n: banyaknya data
• x_i: nilai data ke-i

Contoh:

• Sehimpunan peubah acak bernilai 3, 2, dan 4. Berapa rataan aritmetik?

${\displaystyle X={\frac {3+2+4}{3}}=3.}$

• untuk data berkelompok

${\displaystyle X={\frac {\sum _{i=1}^{k}{f_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{k}{f_{i}}}}}$

keterangan:

• X: rata-rata aritmetik
• k: banyaknya kelas interval
• f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i
• x_i: titik tengah kelas interval ke-i

Contoh:

• Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut:

Nilai data siswa kelas X

Nilai	Jumlah murid
1–20	2
21–40	5
41–60	7
61–80	6
81–100	5

Berapa nilai rataan aritmetik?

Nilai	Jumlah murid a	Nilai tengah b	a x b
1–20	2	10	20
21–40	5	30	150
41–60	7	50	350
61–80	6	70	420
81–100	5	90	450
Total	25		1,390

${\displaystyle X={\frac {1,390}{25}}=55.6.}$

Rataan kuadratik

Pengertian sebagai rataan kuadratik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi bernilai nyata Q,

• untuk data tunggal

${\displaystyle X={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}{n}}}}$

atau "jumlah data dibagi banyak data".

keterangan:

• X: rata-rata kuadratik
• n: banyaknya data
• x_i: nilai data ke-i

Contoh:

• Sehimpunan peubah acak bernilai 5, 2, dan 4. Berapa rataan kuadratik?

${\displaystyle X={\sqrt {\frac {5^{2}+2^{2}+4^{2}}{3}}}={\sqrt {\frac {45}{3}}}={\sqrt {15}}=3,87.}$

untuk melihat perbandingan rataan aritmetik yaitu:

${\displaystyle X={\frac {5+2+4}{3}}=3.67.}$

• untuk data berkelompok

${\displaystyle X={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{k}{f_{i}\cdot x_{i}^{2}}}{\sum _{i=1}^{k}{f_{i}}}}}}$

keterangan:

• X: rata-rata kuadratik
• k: banyaknya kelas interval
• f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i
• x_i: titik tengah kelas interval ke-i

Contoh:

• Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut:

Nilai data siswa kelas X

Nilai	Jumlah murid
1–20	2
21–40	5
41–60	7
61–80	6
81–100	5

Berapa nilai rataan kuadratik?

Nilai	Jumlah murid a	Nilai tengah b	b^2	a x b^2
1–20	2	10	100	200
21–40	5	30	900	4,500
41–60	7	50	2,500	17,500
61–80	6	70	4,900	29,400
81–100	5	90	8,100	40,500
Total	25			92,100

${\displaystyle X={\sqrt {\frac {92,100}{25}}}={\sqrt {3,684}}=60.7.}$

keterangan:

• X: rata-rata kuadratik
• k: banyaknya kelas interval
• f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i
• x_i: titik tengah kelas interval ke-i

Rataan gabungan

Pengertian sebagai rataan gabungan bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi bernilai nyata X,

${\displaystyle X={\frac {\sum _{i=1}^{k}{n_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{k}{n_{i}}}}}$

keterangan:

• Q: rata-rata gabungan
• i: banyaknya nilai
• n_i: nilai data ke-i
• x_i: rerata ke-i

Contoh:

• Rerata rapor 37 siswa di kelas 1A adalah 63, rerata rapor 35 siswa di kelas 1B adalah 62 dan Rerata rapor 38 siswa di kelas 1B adalah 64. Berapa rataan gabungan?

${\displaystyle X={\frac {37\cdot 63+35\cdot 62+38\cdot 64}{37+35+38}}={\frac {6,933}{110}}=63.03.}$

untuk melihat perbandingan rataan aritmetik yaitu:

${\displaystyle X={\frac {63+62+64}{3}}=63.}$

Rataan terbobot

Pengertian sebagai bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi bernilai nyata X,

${\displaystyle X={\frac {\sum _{i=1}^{k}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{k}{w_{i}}}}}$

keterangan:

• Q: rata-rata terbobot
• i: banyaknya nilai
• w_i: bobot data ke-i
• x_i: rerata ke-i

Contoh:

• Sistem penilaian matematika yaitu 50 poin ujian, 30 poin ulangan harian serta 20 poin tugas. Seorang siswa memperoleh nilai sebagai berikut ujian 87, ulangan harian 86 serta tugas 92. Berapa jumlah nilai matematika yang diperolehnya?

${\displaystyle X={\frac {87\cdot 50+86\cdot 30+92\cdot 20}{50+30+20}}={\frac {8,760}{100}}=87.6.}$

untuk melihat perbandingan rataan aritmetik yaitu:

${\displaystyle X={\frac {87+86+92}{3}}=88.33.}$

Rataan geometrik

Pengertian sebagai rataan geometrik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi bernilai nyata X,

• untuk data tunggal

${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}}$

atau "jumlah data diakar banyak data".

atau

${\displaystyle logG={\frac {\sum _{i=1}^{n}{logx_{i}}}{n}}}$

atau "log dari jumlah data dibagi banyak data".

keterangan:

• G: rata-rata geometrik
• n: banyaknya datai
• x_i: nilai data ke-i

Contoh:

• Sehimpunan peubah acak bernilai 3, 2, dan 4. Berapa rataan geometrik?

${\displaystyle G={\sqrt[{3}]{3\cdot 2\cdot 4}}={\sqrt[{3}]{24}}=2.88.}$

atau

${\displaystyle logG={\frac {log3+log2+log4}{3}}={\frac {1.38}{3}}=0.46}$

${\displaystyle G=10^{0.46}=2.88.}$

• untuk data berkelompok

${\displaystyle G={\sqrt[{\sum {i=1}^{k}{f_{i}}}]{\prod _{i=1}^{k}{x_{i}}^{f_{i}}}}}$

atau

${\displaystyle logG={\frac {\sum _{i=1}^{k}{f_{i}\cdot logx_{i}}}{\sum _{i=1}^{k}{f_{i}}}}}$

keterangan:

• G: rata-rata geometrik
• k: banyaknya kelas interval
• f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i
• x_i: titik tengah kelas interval ke-i

Contoh:

• Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut:

Nilai data siswa kelas X

Nilai	Jumlah murid
1–20	2
21–40	5
41–60	7
61–80	6
81–100	5

Berapa nilai rataan geometrik?

Nilai	Jumlah murid a	Nilai tengah b	log b	a x log b
1–20	2	10	1	2
21–40	5	30	1.477	7.385
41–60	7	50	1.699	11,893
61–80	6	70	1.845	11.07
81–100	5	90	1.954	9.77
Total	25			42.118

${\displaystyle logG={\frac {42.118}{25}}=1.68}$

${\displaystyle G=10^{1.68}=47.86.}$

Rataan harmonik

Pengertian sebagai rataan harmonik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi bernilai nyata X,

• untuk data tunggal

${\displaystyle H={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}$

atau "jumlah data dibagi banyak data".

keterangan:

• H: rata-rata harmonik
• n: banyaknya data
• x_i: nilai data ke-i

Contoh:

• Sehimpunan peubah acak bernilai 3, 2, dan 4. Berapa rataan harmonik?

${\displaystyle H={\frac {3}{{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {3}{1.08}}=2.78.}$

• untuk data berkelompok

${\displaystyle H={\frac {\sum _{i=1}^{k}{f_{i}}}{\sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}}{x_{i}}}}}}$

keterangan:

• H: rata-rata harmonik
• k: banyaknya kelas interval
• f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i
• x_i: titik tengah kelas interval ke-i

Contoh:

• Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut:

Nilai data siswa kelas X

Nilai	Jumlah murid
1–20	2
21–40	5
41–60	7
61–80	6
81–100	5

Berapa nilai rataan harmonik?

Nilai	Jumlah murid a	Nilai tengah b	a/b
1–20	2	10	0.2
21–40	5	30	0.17
41–60	7	50	0.14
61–80	6	70	0.09
81–100	5	90	0.056
Total	25		0.656

${\displaystyle H={\frac {25}{0.656}}=38.11.}$

Dari tiga jenis rataan yaitu aritmetik, geometrik dan harmonik maka urutan nilai rataan paling kecil adalah harmonik, geometrik dan aritmetik.

Rata-rata fungsi

Dalam kalkulus, khususnya kalkulus multivariabel, rata-rata sebuah fungsi didefinisikan sebagai nilai rata-rata fungsi pada domain-nya. Dalam satu variabel, rata-rata fungsi f(x) pada interval (a,b) dinyatakan dengan

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx.}$

Dalam beberapa variabel, rata-rata domain U dalam dinyatakan dengan

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}f.}$

Rata-rata lainnya

Lihat pula

• Statistika komputasi
• Statistika deskriptif
• Median
• Modus

Pranala luar

• Perbandingan antara rataan aritmetik dan rataan geometrik