Metrik (matematika)

Dalam matematika, ruang metrik adalah himpunan yang memiliki definisi jarak antara elemen himpunan. Orang yang pertama kali menemukan ruang metrik adalah .

Definisi formal

Diberikan sebarang himpunan tak kosong ${\displaystyle X}$. Fungsi ${\displaystyle d:\;X\;\times \;X\rightarrow \mathbb {R} }$ yang memenuhi sifat-sifat

• ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$ untuk setiap ${\displaystyle x,y\in X}$
• ${\displaystyle d(x,y)=0}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle x=y}$
• ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ untuk setiap ${\displaystyle x,y\in X}$
• ${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)}$ untuk setiap ${\displaystyle x,y,z\in X}$

disebut jarak (metrik) pada X. Pasangan (X,d) disebut dengan ruang metrik.

Diberikan ruang metrik ${\displaystyle (X,d)}$ untuk sebarang titik ${\displaystyle a\in X}$ dan konstanta ${\displaystyle r>0}$, didefinisikan himpunan:

${\displaystyle N_{r}(a)=\{x\in X:\;d(x,a)<r\}}$

yang disebut bola buka dengan persekitaran titik a dengan jari-jari r. Dari himpunan tersebut, sifat-sifat topologis dari ruang metrik dapat ditelusuri lebih lanjut.

Contoh

• Bilangan riil dengan nilai absolut sebagai metrik, yaitu ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ dan ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$.
• Ruang Euklides.

Pranala luar

• Far and near—several examples of distance functions at